Question

【題目】如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中， 是的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

(1)求出該幾何體的體積；

(2)若是的中點(diǎn)，求證： 平面；

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先由面面垂直的性質(zhì)定理證明 ，再由面面垂直的判定定理證明 證明平面，從而由棱錐的體積公式可得結(jié)果；（2）連接 ，由中位線定理得 ，由平行四邊形可得 ，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：(1)由題意可知：四棱錐中，

平面平面，

平面平面

所以， 平面

又， ，

則四棱錐的體積為：

(2)連接,則，

又,所以四邊形為平心四邊形，

平面， 平面,

所以， 平面

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.