Question

18．已知變量a，b滿足b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），若點(diǎn)Q（m，n）在直線y=2x+$\frac{1}{2}$上，則（a-m）²+（b-n）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{9}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• C． 9
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²；以及y=2x+$\frac{1}{2}$，所以（a-m）²+（b-n）²就是曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²與直線y=2x+$\frac{1}{2}$之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-m）²+（b-n）²的最小值．

解答 解：∵b=-$\frac{1}{2}$a²+3lna（a＞0），
設(shè)b=y，a=x，則有：y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，
∴（a-m）²+（b-n）²就是曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²與直線y=2x+$\frac{1}{2}$之間的最小距離的平方值，
對(duì)曲線y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，求導(dǎo)：y′（x）=$\frac{3}{x}$-x，
與y=2x+$\frac{1}{2}$平行的切線斜率k=2=$\frac{3}{x}$-x，解得：x=1或x=-3（舍），
把x=1代入y=3lnx-$\frac{1}{2}$x²，得：y=-$\frac{1}{2}$，即切點(diǎn)為（1，-$\frac{1}{2}$），
切點(diǎn)到直線y=2x+$\frac{1}{2}$的距離：$\frac{|2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴（a-m）²+（b-n）²的最小值就是（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．