Question

已知正四棱錐V-ABCD的個棱長均為1，E、F分別是VB、VC的中點．
（1）判斷直線AE是否與平面BDF平行，并說明理由；
（2）求證：平面VCD⊥平面BDF；
（3）求棱錐V-AEFD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）如圖所示，由于E、F分別是VB、VC的中點，可得EF

∥

.

1

2

BC，EF

∥

.

1

2

AD．可得四邊形AEFD是梯形，于是直線AE與平面BDF不平行．
（2）連接AC與BD相交于點O，連接VO．由VO⊥平面ABCD，可得VO⊥BD．可得BD⊥平面VAC，BD⊥VC．由于BF⊥VC．可得VC⊥平面DBF，即可證明．
（3）利用四棱錐的體積可得V_V-ABCD=

1

3

VO•SABCD．連接DE，可得VD-VEF=

1

3

VD-BCEF，V_D-VBC=

1

2

VV-ABCD，VD-VEF=

1

6

VV-ABCD．同理可得V_A-DVE=V_A-DEF=

1

4

VV-ABCD．因此V_V-AEFD=

5

12

VV-ABCD．

解答： （1）解：如圖所示，
∵E、F分別是VB、VC的中點，
∴EF

∥

.

1

2

BC，
∵BC

∥

.

AD，
∴EF

∥

.

1

2

AD．
∴四邊形AEFD是梯形，
∴AE與DF相交于平面BDF內(nèi)的某一點．
因此直線AE與平面BDF不平行．
（2）連接AC與BD相交于點O，連接VO．
則VO⊥平面ABCD，
∴VO⊥BD，
又BD⊥AC，VO∩AC=O．
∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥VC．
∵△VBC是等邊三角形，F(xiàn)是VC的中點，
∴BF⊥VC．
又BD∩BF=B，
∴VC⊥平面DBF，
∵VC?平面VCD，
∴平面VCD⊥平面BDF．
（3）解：如圖所示，VO=

VA2-AO2

=

12-( 2 2 )2

=

2

2

．
∴V_V-ABCD=

1

3

VO•SABCD=

1

3

×

2

2

×12=

2

6

．
連接DE，則VD-VEF=

1

3

VD-BCEF，V_D-VBC=

1

2

VV-ABCD，
∴VD-VEF=

1

6

VV-ABCD．
同理可得V_A-DVE=V_A-DEF=

1

4

VV-ABCD．
∴V_V-AEFD=

5

12

VV-ABCD=

5

12

×

2

6

=

5 2

72

．

點評：本題綜合考查了線面平行的判定定理、梯形的定義、三角形的中位線定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理、正方形的性質(zhì)、三棱錐與四棱錐的體積計算公式、等邊三角形的性質(zhì)定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．