Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F，切點為G，連接AG交CD于K，連接AC，且KG²=KD•GE．
（Ⅰ）求證：KE=GE；
（Ⅱ）求證：AC∥EF．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）如答圖1，連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對等邊得到KE=GE；
（2）AC與EF平行，理由為：如答圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG²=KD•GE，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；

解答： 證明：（Ⅰ）連接OG，如下圖所示：

∵EF為⊙O的切線，
∴OG⊥EF，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠OAG+∠HKA=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠HKA=∠GKE，
∴KE=GE．（5分）
（Ⅱ）連接DG，BC，
∵KG²=KD•GE，
∴

KG

KD

=

KE

KG

，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△KDG∽△KGE
∴∠AGD=∠E，
又∵∠AGD=∠ACD，
∴∠ACD=∠E．
∴AC∥EF．（10分）

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．