Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-2lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知點P（0，1）和函數(shù)f（x）圖象上動點M（m，f（m）），對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導，利用導數(shù)大于0或導數(shù)小于0，得到關于x的不等式，解之即可；注意解不等式時要結合對應的函數(shù)圖象來解；
（2）因為對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉化為導數(shù)值小于0恒成立的問題，對于導函數(shù)小于0在區(qū)間[1，e]上恒成立，則問題轉化為函數(shù)的最值問題，即函數(shù)f′（x）＜0恒成立，通過化簡最終轉化為f（m）＜1在區(qū)間[1，e]上恒成立，再通過研究f（x）在[1，e]上的單調性求最值，結合（Ⅰ）的結果即可解決問題．注意分類討論的標準的確定．

解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=ax-

2

x

=

ax2-2

x

，
（Ⅰ）當a＜0時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a=0時，f′（x）=-

2

x

＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，令f′（x）=0，結合x＞0，解得x=

2 a

，當x∈（0，

2 a

）時，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，

2 a

）上單調遞減；當x∈（

2 a

，+∞）時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（

2 a

，+∞）上單調遞增；
綜上所述：當a≤0時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，

2 a

）上單調遞減，在（

2 a

，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）因為對任意m∈[1，e]，直線PM的傾斜角都是鈍角，所以對任意m∈[1，e]，直線PM的斜率小于0，
即

f(m)-1

m

＜0，所以f（m）＜1，即f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值小于1．
又因為f′（x）=ax-

2

x

=

ax2-2

x

，令g（x）=ax²-2，x∈[1，e]
（1）當a≤0時，由（Ⅰ）知f（x）在區(qū)間[1，e]上單調遞減，所以f（x）的最大值為f（1）=

1

2

a＜1，所以a＜2，
故a≤0符和題意；
（2）當a＞0時，令f′（x）=0，得x=

2 a

，
①當

2 a

≤1，即a≥2時，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調遞增，所以函數(shù)f（x）的最大值f（e）=

1

2

ae2-2＜1，解得a＜

6

e2

，故無解；
②當

2 a

≥e，即a≤

2

e2

時，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調遞減，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=

1

2

a＜1，解得a＜2，故0＜a＜

2

e2

；
③當1＜

2 a

＜e，即

2

e2

＜a＜2時，函數(shù)f（x）在（1，

2 a

）上單調遞減；當x∈（

2 a

，e）上單調遞增，故f（x）在區(qū)間x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），
所以

f(1)＜1 f(e)＜1

，即

a＜2 a＜ 6 e2

，故

2

e2

＜a＜

6

e2

．
綜上所述a的取值范圍a＜

6

e2

．

點評：本題重點考查不等式恒成立問題的基本思路，一般是轉化為函數(shù)的最值問題，然后從函數(shù)的單調性入手分析，注意本題第二問討論時的標準，一般要借助于函數(shù)圖象輔助來解決問題．一方面利用了數(shù)學結合思想，同時重點考查了分類討論思想的應用，有一定難度．