Question

12．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列，則$\frac{a}+\frac{a}$的取值范圍$[2，\sqrt{5}）$．

Answer 1

分析 先根據(jù)a、b、c成等比數(shù)列求出b²=ac進(jìn)而表示出c；再結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系即可求出$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：∵△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{a}+\frac{a}$$≥2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，
∵a-b＜c，∴a-b＜$\frac{^{2}}{a}$，∴a²-ab-b²＜0，
∴$（\frac{a}）^{2}-\frac{a}-1＜0$，∴$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜\frac{a}＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
∵a＞0，b＞0．
∴$0＜\frac{a}＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，①
又∵b-a＜c，∴b-a＜$\frac{^{2}}{a}$，∴a²-ab+b²＞0，
∴$（\frac{a}）^{2}-\frac{a}$+1＞0，不等式恒成立 ②．
∵①②同時(shí)成立．
∴0＜$\frac{a}$＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，∴$\frac{a}＜\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{a}+\frac{a}$＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{a}+\frac{a}$的取值范圍是[2，$\sqrt{5}$）．
故答案為：[2，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用．