Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=0，a₆+a₈=-10
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；            
（2）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=0}\\{2{a_1}+12d=-10}\end{array}}\right.$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過a_n=2-n可知${b_n}=\frac{2-n}{{{2^{n-1}}}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=0，a₆+a₈=-10，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+d=0}\\{2{a_1}+12d=-10}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=-1}\end{array}}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2-n；
（2）∵a_n=2-n，b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${b_n}=\frac{2-n}{{{2^{n-1}}}}$，
∴${T_n}=1+0•\frac{1}{2}+（{-1}）•{（{\frac{1}{2}}）^2}+（{-2}）•{（{\frac{1}{2}}）^3}+…+（{3-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}+（{2-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+0•{（{\frac{1}{2}}）^2}+（{-1}）•{（{\frac{1}{2}}）^3}+（{-2}）•{（{\frac{1}{2}}）^4}+…+（{3-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+（{2-n}）•{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
兩式相減得：$\frac{T_n}{2}=1+\frac{-1}{2}+…+\frac{-1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2-n}{2^n}$
=$1-（{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2-n}{2^n}=1-（{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-\frac{2-n}{2^n}=\frac{n}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$（n＞1），
又∵T₁=b₁=$\frac{2-1}{{2}^{1-1}}$=1滿足上式，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．