Question

12．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y），若f（8）=3，則$f（\sqrt{2}）$等于（　�。�

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根據(jù)f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），求得f（2），再根據(jù)f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2），求得f（$\sqrt{2}$）．

解答 解：因為f（x）滿足，f（xy）=f（x）+f（y），
所以，f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2），
即f（8）=3f（2）=3，
所以，f（2）=1，
而f（2）=f（$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$）=f（$\sqrt{2}$）+f（$\sqrt{2}$）=2f（$\sqrt{2}$）
因此，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{1}{2}$，
故答案為：C．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，涉及抽象函數(shù)值的確定，關(guān)鍵是要靈活運用條件f（xy）=f（x）+f（y），屬于中檔題．