Question

1．已知函數(shù)g（x）=x³+ax²-4x在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意問題等價(jià)為g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{g'（-1）≤0}\\{g'（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：對函數(shù)g（x）求導(dǎo)得，g'（x）=3x²+2ax-4，
∵函數(shù)g（x）=x³+ax²-4x在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，
∴g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
問題等價(jià)為：$\left\{\begin{array}{l}{g'（-1）≤0}\\{g'（1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，涉及導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．