Question

7．在邊長為1的正△ABC中，設(shè)$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BE}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法滿足三角形法則，將$\overrightarrow{BE}$用$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{AC}$表示出來，利用向量的數(shù)量積的運算法則和定義式即可求得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，
又∵△ABC為正三角形，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$）
=$-\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$-|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos\frac{π}{3}-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$
=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$
=$-\frac{2}{3}$•

點評 本題考查向量的加法和數(shù)量積的運算法則和定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．