Question

18．已知函數(shù)f（θ）=asinθ+bcosθ（a、b∈R），且f（$\frac{π}{3}$）=1，求f（θ）的最小值的變化范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)f（$\frac{π}{3}$）=1，求出a，b的關(guān)系，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（$\frac{π}{3}$）=1，
∴asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$=1，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=1$，即b=2-$\sqrt{3}$a，
則f（θ）=asinθ+bcosθ=asinθ+（2-$\sqrt{3}$a）cosθ=$\sqrt{{a}^{2}+（2-\sqrt{3}a）^{2}}$sin（θ+φ）
=2$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{3}a+1}$sin（θ+φ），（tanφ=$\frac{2-\sqrt{3}a}{a}$），
∴-2$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{3}a+1}$≤f（θ）≤2$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{3}a+1}$，
即函數(shù)f（θ）的最小值為-2$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{3}a+1}$=-2$\sqrt{（a-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$$≤-2×\frac{1}{2}=-1$，
故f（θ）的最小值的變化范圍為（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的求解和化簡(jiǎn)，利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．