Question

20．已知實數(shù)x，y滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，z=|2x-2y-1|，則z的取值范圍是[0，5]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：z=|2x-2y-1|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$•$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{2}d$，
d=$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到直線2x-2y-1=0的距離，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
∵直線2x-2y-1=0經(jīng)過平面區(qū)域，
∴d的最小值為0，
點(diǎn)C到直線2x-2y-1=0的距離最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（2，-1），
此時d的最大值為d=$\frac{|2×2-2×（-1）-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{8}}$=$\frac{5}{2\sqrt{2}}$，
則z的最大值為2$\sqrt{2}d$=2$\sqrt{2}$•$\frac{5}{2\sqrt{2}}$=5，
即z的取值范圍是[0，5]，
故答案為：[0，5]．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．