Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sinx，cosx}），\overrightarrow n=（{cosx，cosx}），x∈R$，設$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式得出f（x），利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）根據(jù)f（A）=1和A的范圍解出A，利用余弦定理得出bc，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA即可．

解答 解：（I）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（II）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴1=4-3bc，∴bc=1．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．