Question

【題目】已知函數(shù)且.

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值.

（Ⅱ）若函數(shù)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；

（II）

【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在處取得極值，則即，再檢驗(yàn)函數(shù)在時(shí)，取得極小值，可得實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則函數(shù)的值恒大于或小于0，分類討論a，利用函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，列出不等式，可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（I）函數(shù)且，

其的定義域?yàn)?/span>R，

，

因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，

所以即，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，

故；

（Ⅱ），由于，

（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，

則是增函數(shù)，

且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

解得，

取，則 ，

所以函數(shù)存在零點(diǎn)，

（ii）當(dāng)時(shí)，由=0，得，

在上，，單調(diào)遞減，

在上，，單調(diào)遞增，

所以時(shí)，取得最小值，

函數(shù)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于，

即，

解得，

綜上所述：所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是.