Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mx+n²，g（x）=x²+（m+2）x+n²+m+1，其中n∈R，若對(duì)任意的n，t∈R，f（t）和g（t）至少有一個(gè)為非負(fù)值，則實(shí)數(shù)m的最大值是（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 作差g（t）-f（t）=2t+m+1，從而可知t≥-$\frac{m+1}{2}$時(shí)g（t）≥f（t），從而化為g（t）=t²+（m+2）t+n²+m+1在t≥-$\frac{m+1}{2}$時(shí)g（t）_min=（-$\frac{m+1}{2}$+$\frac{m+2}{2}$）²+n²+m+1-$\frac{（m+2）^{2}}{4}$≥0恒成立，從而可得|m|≤1；從而結(jié)合選項(xiàng)解得．

解答 解：∵g（t）-f（t）=t²+（m+2）t+n²+m+1-（t²+mt+n²）=2t+m+1，
∴當(dāng)2t+m+1≥0，即t≥-$\frac{m+1}{2}$時(shí)，g（t）≥f（t），
而g（t）=t²+（m+2）t+n²+m+1=（t+$\frac{m+2}{2}$）²+n²+m+1-$\frac{（m+2）^{2}}{4}$，
∵-$\frac{m+1}{2}$＞-$\frac{m+2}{2}$，
∴g（t）_min=（-$\frac{m+1}{2}$+$\frac{m+2}{2}$）²+n²+m+1-$\frac{（m+2）^{2}}{4}$≥0恒成立，
即m²≤1+4n²恒成立，
故|m|≤1；
結(jié)合選項(xiàng)可知，A正確；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及作差法的應(yīng)用，屬于中檔題．