Question

10．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1．
（Ⅰ）證明數列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，作差可得$（{a}_{n+1}+\frac{1}{n+1}）$-（a_n+$\frac{1}{n}$）=1．利用等差數列的通項公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，
∴$（{a}_{n+1}+\frac{1}{n+1}）$-（a_n+$\frac{1}{n}$）=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1+$\frac{1}{n+1}$-${a}_{n}-\frac{1}{n}$=1．
∴數列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差數列，首項為2，公差為1，
∴${a}_{n}+\frac{1}{n}$=2+（n-1）=n+1，∴${a}_{n}=n+1-\frac{1}{n}$．
（II）解：b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數列{b_n}的前n項和=n-$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=n-$（1-\frac{1}{n+1}）$
=n-1+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．