Question

在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量

m

=（a+c，a-b），

n

=（sinB，sinA-sinC），且

m

∥

n

，
（1）求∠C的大��；
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式建立方程關(guān)系，利用余弦定理即可求∠C的大��；
（2）利用輔助角公式即可sinA+sinB的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

m

=（a+c，a-b），

n

=（sinB，sinA-sinC），且

m

∥

n

，
∴（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，
根據(jù)正弦定理得∴（a+c）（a-c）-（a-b）b=0，
即a²-c²-ab+b²=0，
∴a²-c²+b²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

6

；
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，
∴B=

2π

3

-A，0＜A＜

2π

3

，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cos A=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴當(dāng)A+

π

6

=

π

2

時(shí)，sinA+sinB取得最大值

3

，
當(dāng)A+

π

6

=

π

6

或

5π

6

時(shí)，sinA+sinB取得最小值

3

×

1

2

=

3

2

，
∴

3

2

＜sinA+sinB≤

3

，
即sinA+sinB的取值范圍是（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，利用余弦定理求出C的大小是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握輔助角公式的應(yīng)用．