Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為拋物線C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交于B、D兩點．
（Ⅰ）若∠BFD=90°，且△BFD的面積為4，求p的值及圓F的方程；
（Ⅱ）若A、B、F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標(biāo)原點到m、n距離的比值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，根據(jù)△BFD的面積為4，可求p的值，由此能求出圓F的方程．
（2）由對稱性設(shè)A（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），則F（0，

p

2

），由點A，B關(guān)于點F對稱得B，A的坐標(biāo)，求出直線m，n的方程，即可求出坐標(biāo)原點到m，n距離的比值．

解答： 解：（1）由對稱性知：△BFD是等腰直角△，斜邊|BD|=2p，點F到準(zhǔn)線l的距離p，
∴

1

2

×2p×p=4，解得p=2，
∴|BF|=2

2

，
∴圓F的方程為x²+（y-1）²=8．
（2）由題設(shè)A（x₀，

x02

2p

）（x₀＞0），則F（0，

p

2

），
∵A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，
又AB為圓F的直徑，故A，B關(guān)于點F對稱．
由點A，B關(guān)于點F對稱得：B（-x₀，p-

x02

2p

），
∴p-

x02

2p

=-

p

2

，
∴x₀²=3p²，
∴A（

3

p，

3p

2

），直線m：y=

3p 2 - p 2

3 p

x+

p

2

，即x-

3

y+

3 p

2

=0，
由x²=2py得y=

x2

2p

，∴y′=

x

p

=

3

3

，
∴x=

3

3

p，
∴切點P（

3

3

p，

p

6

），
直線n：y-

p

6

=

3

3

（x-

3

3

p），即x-

3

y-

3

6

p=0
∴坐標(biāo)原點到m，n距離的比值為

3 p

2

：

3

6

p=3．

點評：本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，具體涉及到拋物線的簡單性質(zhì)、圓的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．