Question

2．己知（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵
（Ⅰ）求展開式中含$\frac{1}{x}$項的系數(shù)
（Ⅱ）設（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵的展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為M，（1+ax）⁶的展開式中各項系數(shù)之和為N，若4M=N，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x）^5-r$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r2^5-r${∁}_{5}^{r}$${x}^{5-\frac{3}{2}r}$．令5-$\frac{3}{2}$r=-1，解得r，即可得出．
（Ⅱ）由題意可知：M=${∁}_{5}^{0}+{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$=16，N=（1+a）⁶．因為4M=N，即（1+a）⁶=64，解得a即可得出．

解答 解：（Ⅰ）T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（2x）^5-r$（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r2^5-r${∁}_{5}^{r}$${x}^{5-\frac{3}{2}r}$，
令5-$\frac{3}{2}$r=-1，則r=4，
∴展開式中含$\frac{1}{x}$的項為：T₅=（-1）⁴•2•${∁}_{5}^{4}$•x^-1=$\frac{10}{x}$，
展開式中含$\frac{1}{x}$的項的系數(shù)為10．…（6分）
（Ⅱ）由題意可知：M=${∁}_{5}^{0}+{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$=16，N=（1+a）⁶．
因為4M=N，即（1+a）⁶=64，
∴a=1或a=-3．（少一個答案扣2分）…（12分）

點評 本題考查了二項式定理的應用、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．