Question

1．如圖，互不相同的點(diǎn)A₁、A₂、…A_n、…，B₁、B₂、…B_n、…，C₁、C₂、…、C_n、…分別在以O(shè)為頂頂點(diǎn)的三棱錐的三條側(cè)棱上，所有平面A_nB_nC_n互相平行，且所有三棱臺(tái)A_nB_nC_n-A_n+1B_n+1C_n+1的體積均相等，設(shè)OA_n=a_n，若a₁=$\root{3}{2}$，a₂=2，則a_n=$\root{3}{6n-4}$．

Answer 1

分析 利用采取特殊法解答，不妨令OA₁⊥平面A_nB_nC_n，并且A_nB_n⊥A_nC_n，然后求解幾何體的體積，推出a_n即可．

解答 解：不妨令OA₁⊥平面A_nB_nC_n，并且A_nB_n⊥A_nC_n，
∵OA_n=a_n，若a₁=$\root{3}{2}$，a₂=2．∴${V}_{O-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\root{3}{2}×\root{3}{2}×\root{3}{2}$=$\frac{1}{3}$．
∴${V}_{{A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\root{3}{2}×\root{3}{2}×\root{3}{2}$=1，
${V}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+（n-1）×1=n-$\frac{2}{3}$．
又${V}_{O-{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a_n³=n-$\frac{2}{3}$．
解得：a_n³=6n-4．
即a_n=$\root{3}{6n-4}$，
故答案為：$\root{3}{6n-4}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查特殊值法求解幾何體的體積，棱長(zhǎng)的求法，如果利用一般法求解，難度比較大，考查了推理能力和計(jì)算能力．