Question

6．定義：h₁（x）•h₂（x）=1，則h₁（x）與h₂（x）互成“置換函數(shù)”，已知f（x）是函數(shù)y=e⁰x+e^-x的置換函數(shù)
（1）證明：f（x）的值域為（0，1]；
（2）在x∈（0，+∞）區(qū)間上（ax²+1）f（x）＞1成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=x+e^-x的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，再由不等式的性質(zhì)，即可得證；
（2）由題意可得a＞$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$的最大值，構(gòu)造g（x）=$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，只需證得g（x）≤0在x＞0恒成立，即為x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²≤0，由h（x）=x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為1-e^-x-x，再由e^x≥x+1，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）證明：函數(shù)y=x+e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=1-e^-x，
當(dāng)x＞0時，函數(shù)y′＞0，函數(shù)遞增；
當(dāng)x＜0時，函數(shù)y′＜0，函數(shù)遞減．
即有x=0處取得最小值，且為1，
即y≥1，由“置換函數(shù)”的定義可得f（x）∈（0，1]；
（2）由在x∈（0，+∞）區(qū)間上（ax²+1）f（x）＞1成立，
即為a＞$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$的最大值，
構(gòu)造g（x）=$\frac{x+{e}^{-x}-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{2}$，只需證得g（x）≤0在x＞0恒成立，
即為x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²≤0，
由h（x）=x+e^-x-1-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為1-e^-x-x，
由e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，可得x＞0，函數(shù)遞增；x＜0，函數(shù)遞減．
即有x=0處取得最小值0，即有e^x≥x+1，
即有e^-x≥-x+1，即為1-e^-x-x≤0，
可得h（x）在x＞0遞減，即有h（x）＜h（0）=0，
則g（x）≤0在x＞0恒成立，
即有a＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題．