【題目】已知直角梯形所在的平面垂直于平面
,
,
,
.
(1)若是
的中點(diǎn),求證:
平面
;
(2)求平面與平面
所成的銳二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),得到向量,求出平面平面
的法向量,利用向量
與平面
垂直,即可證明線面平行;(2)求出平面
與平面
的法向量,利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值.
試題解析:(1)設(shè)AB=a,取AC的中點(diǎn)O,連接EO,OP.
∵AE=AC,又∠EAC=60°,∴EO⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACDE,∴EO⊥平面ABC,∴EO⊥OP,
又OP∥AB,AB⊥AC,所以O(shè)P⊥AC.
以射線OP,OC,OE分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖,
則C(0,,0),A(0,-
,0),E(0,0,
),
D(0,,
),B(a,-
,0).
則P(,0,0),
設(shè)平面EAB的法向量為=(x0,y0,z0).
=(a,0,0),
=(0,
,
),
∴=0,
=0,
即,令z0=1,得y0=-
,又x0=0,
∴=(0,-
,1).
∴,
∴DP∥平面EAB (另法:取AB中點(diǎn)F,然后證DP∥EF或證平面ODP∥平面EAB)
(2)設(shè)平面EBD的法向量為=(x1,y1,z1),易知平面ACDE的一個(gè)法向量為
=(1,0,0).
∵,即
,
令z1=1,則x1=,y1=0,
=(
,0,1).
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,
底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.
求證:平面
平面PDB;
當(dāng)
,且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大�。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
)
(1)若,用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)
在[0,π]上的圖象.
(2)若偶函數(shù),求
(3)在(2)的前提下,將函數(shù)的圖象向右平移
個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)
的圖象,求
在
的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2bx+a(a,b∈R)
(1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素,b從集合{0,1,2,3}中任取一個(gè)元素,求方程f(x)=0恰有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率;
(2)若b從區(qū)間[0,2]中任取一個(gè)數(shù),a從區(qū)間[0,3]中任取一個(gè)數(shù),求方程f(x)=0沒有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點(diǎn)P.
(1)若直線l平行于直線l1:4x-y+1=0,求l的方程;
(2)若直線l垂直于直線l1:4x-y+1=0,求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題是假命題的是( )
A.?φ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數(shù)
B.?α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+cosβ
C.向量 =(﹣2,1),
=(﹣3,0),則
在
方向上的投影為2
D.“|x|≤1”是“x<1”的既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),則y=[x]稱為高斯函數(shù),例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函數(shù),則關(guān)于函數(shù)g(x)=[f(x)]的敘述正確的是( �。�
A. 是偶函數(shù)B.
是奇函數(shù)
C. 的值域是
0,
D.
的值域是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有8名馬拉松比賽志愿者,其中志愿者,
,
通曉日語,
,
,
通曉俄語,
,
通曉英語,從中選出通曉日語、俄語和英語的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.
列出基本事件;
求
被選中的概率;
求
和
不全被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公園游園活動(dòng)中有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同;每次游戲都從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)地摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)
(1)在一次游戲中:①求摸出3個(gè)白球的概率;②求獲獎(jiǎng)的概率;
(2)在兩次游戲中,記獲獎(jiǎng)次數(shù)為X:①求X的分布列;②求X的數(shù)學(xué)期望.
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