Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$，若對(duì)區(qū)間M=[m，n]，集合N={y|y=f（x），x∈M}，且M=N，則m-n=-2．

Answer 1

分析 由題意寫出分段函數(shù)，結(jié)合定義域和值域相等列式求得m，n的值，則答案可求．

解答 解：∵x∈M，M=[m，n]，
則對(duì)于集合N中的函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇m，n]，
對(duì)應(yīng)的f（x）的值域?yàn)镹=M=[m，n]．
又∵f（x）=-$\frac{2x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{1+x}-2，x＞0}\\{2-\frac{2}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
故當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
故N=[-$\frac{2n}{1+|n|}$，-$\frac{2m}{1+|m|}$]，
由N=M=[m，n]得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2n}{1+|n|}}\\{n=-\frac{2m}{1+|m|}}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，n=1．
∴m-n=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，考查了函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．