Question

7．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=2sinθ，曲線C₂的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），曲線C₁，C₂相交于點M，N，則弦MN的長為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 將兩曲線極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，再由半徑r的值，利用垂徑定理及勾股定理求出MN的長即可．

解答 解：∵ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
又$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，且ρ²=x²+y²，
∴x²+y²=2y，即C₁：x²+（y-1）²=1；
曲線C₂在直角坐標系中是過原點且傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線，即C₂：y=$\sqrt{3}$x，
∴圓心（0，1）到直線y=$\sqrt{3}$x的距離d=$\frac{1}{2}$，
∵圓的半徑r=1，
∴由勾股定理可得，MN=2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則弦MN的長為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了簡單曲線的極坐標方程，將兩曲線方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．