Question

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針?lè)较蚯斑M(jìn)，現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻、每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上所標(biāo)數(shù)字分別為1、1、2、2、3、3.質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步(如由A到B)，當(dāng)正方體朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步(如由A到C)；當(dāng)正方體朝上一面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步(如由A到D)．在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過(guò)一圈，則投擲終止．

(1)求點(diǎn)P恰好返回到點(diǎn)A的概率；

(2)在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點(diǎn)A的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn)A的投擲次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：(1)事件“點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點(diǎn)A”記為M；事件“投擲兩次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn)A”記為B；事件“投擲三次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn)A”記為D；事件“投擲四次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn)A”記為E.投擲一次正方體玩具，朝上一面每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P₁＝＝，因?yàn)橹煌稊S一次不可能返回到點(diǎn)A；若投擲兩次點(diǎn)P就恰能返回到點(diǎn)A，則朝上一面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：(1,3)，(3,1)，(2,2)三種結(jié)果，其概率為P(B)＝²×3＝；

若投擲三次點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn)A，則朝上一面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：

(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三種結(jié)果，其概率為P(D)＝³×3＝；

若投擲四次點(diǎn)P恰能返回到點(diǎn)A，則朝上一面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：

(1,1,1,1)，其概率為P(E)＝⁴＝；

所以點(diǎn)P恰好返回到點(diǎn)A的概率為

P(M)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.

(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為2,3,4.

即ξ的分布列為所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.即ξ的數(shù)學(xué)期望是.