Question

11．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，M是側棱CC₁的中點，求異面直線AB₁和BM所成的角的大�。�（以B為坐標原點，BC為x軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解）

Answer 1

分析 以B為坐標原點，以BC和BB₁所在直線為x軸和z軸，過B作平面BCC₁的直線為y軸，建立空間直角坐標系Bxyz，利用向量法能求出異面直線AB₁和BM所成的角．

解答 解：以B為坐標原點，
以BC和BB₁所在直線為x軸和z軸，過B作平面BCC₁的直線為y軸，
建立空間直角坐標系Bxyz，
則B（0，0，0），M（2，0，1），B₁（0，0，2），A（1，$\sqrt{3}$，0），…（4分）
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{BM}$=（2，0，1），…（8分）
cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BM}|}$=$\frac{0}{2\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=0，
∴異面直線AB₁和BM所成的角為90°．…（10分）

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．