Question

1．已知m＞0，給出下列兩個命題：命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²+m）存在零點；命題q：?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立．若p∧q是假命題，p∨q是真命題，則m的取值范圍為$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²+m）存在零點，則x²+m≤1，即可解得m范圍；命題q：不等式x+|x-2m|＞1化為：|x-2m|＞1-x，根據(jù)?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立，可得1＜2m．若p∧q是假命題，p∨q是真命題，則p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：m＞0，給出下列兩個命題：命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²+m）存在零點，則x²+m≤1，∴1-m≥x²，解得0＜m≤1；
命題q：不等式x+|x-2m|＞1化為：|x-2m|＞1-x，∵?x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立，∴1＜2m，解得$m＞\frac{1}{2}$．
若p∧q是假命題，p∨q是真命題，
則p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜m≤1}\\{0＜m≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．
則m的取值范圍為$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．
故答案為：$0＜m≤\frac{1}{2}$，或m＞1．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．