Question

15．今年寧徳市工業(yè)轉(zhuǎn)型升級持續(xù)推進，某企業(yè)為推介新型電機，計劃投入適當?shù)膹V告費，對生產(chǎn)的新型電機進行促銷，據(jù)測量月銷售量T（萬臺）與月廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關系是T=5-$\frac{2}{5x}$（1≤x≤5）．己知該電機的月固定投入為5萬元，每生產(chǎn)1萬臺仍需再投入25萬元．（月銷售收入=月生產(chǎn)成本的120%+月廣告費的50%）
（Ⅰ）將該電機的月利潤S（萬元）表示為月廣告費又（萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）當月廣告費投入為多少萬元時，此廠的月利潤最大，最大利潤為多少？（月利潤=月銷售收入-月生產(chǎn)成本-月廣告費）．

Answer 1

分析 （I）該電機的月生產(chǎn)成本（25T+5）萬元，月銷售收入為（25T+5）×120%+x•50%，月利潤為S=（25T+5）×120%+x•50%-（25T+5）-x，整理即得；
（II）由利潤函數(shù)S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值．

解答 解：（I）由題意知，該電機的月生產(chǎn)成本為（25T+5）萬元，
月銷售收入為（25T+5）×120%+x•50%，…（2分）
月利潤為S=（25T+5）×120%+x•50%-（25T+5）-x，
即S=5T+1-$\frac{1}{2}$x．又T=5-$\frac{2}{5x}$（1≤x≤5），…（4分）
所以S=5T+1-$\frac{1}{2}$x=26-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$x（1≤x≤5）．．…（7分）
（II）由S=26-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$x=26-（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$x）≤26-2$\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{x}{2}}$=24  …．（10分）
當且僅當$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{2}$x，即x=2時，S有最大值24．…（11分）
因此，當月廣告費投入約為2萬元時，此廠的月利潤最大，最大月利潤約為24萬元．…..（12分）

點評 本題考查了利潤函數(shù)模型的應用，在建立函數(shù)解析式的基礎上，利用基本不等式，求得函數(shù)的最值．