Question

4．如圖所示的幾何體是由棱長為2cm的正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁被平面AB₁D₁所截得的較大部分．
（1）求異面直線AB₁與BC所成角的大小；        
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出異面直線AB₁與BC所成角．
（2）該幾何體的體積V=${V}_{A-BD{D}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{BDC-{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}$．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B₁（2，2，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
設(shè)異面直線AB₁與BC所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BC}|}$=0，∴θ=90°，
∴異面直線AB₁與BC所成角為90°．
（2）該幾何體的體積：
V=${V}_{A-BD{D}_{1}{B}_{1}}$+${V}_{BDC-{B}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{四邊形BD{D}_{1}{B}_{1}}$×$\frac{AC}{2}$+S_△ABC•BB₁
=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×2×2×2$
=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．