Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+blnx+c（a，b，c∈R）的圖象在點(diǎn)（e，1）處的切線過(guò)原點(diǎn)．
（1）若a=1，證明f（x）-lnx＞0；
（2）若對(duì)任意x＞0，都有f（x）≤kx+m≤xf（x），求k，m的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得在點(diǎn)（e，1）處的切線的斜率，由題意可得f（e）=1，由a=1，可得b，c，再由g（x）=f（x）-lnx=x²-2e²lnx+e²，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證；
（2）由題意可得f（1）≤k+m≤f（1），即有f（1）=k+m，即為k+m=a+c，由條件可得kx²+（m-k）x-m≥0，可得k＞0，且（m-k）²+4km≤0，求得k+m=0，再由lnx≤x-1≤xlnx，即可得到k=1，m=-1．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）=ax²+blnx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+$\frac{x}$，
可得在點(diǎn)（e，1）處的切線的斜率為2ae+$\frac{e}$，
由題意可得f（e）=1，即ae²+b+c=1，
又2ae+$\frac{e}$=$\frac{1}{e}$，a=1，
解得b=1-2e²，c=e²，
g（x）=f（x）-lnx=x²-2e²lnx+e²，
g′（x）=2x-2e²•$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有x=e處g（x）取得最小值，且為0，
可得g（x）≥0，即有f（x）-lnx≥0，
則原不等式成立；
（2）由題意可得f（1）≤k+m≤f（1），
即有f（1）=k+m，即為k+m=a+c，
由（1）可得，k+m=a+ae²，
又f（x）≤kx+m
且f（x）≥k+$\frac{m}{x}$，
即為kx+m≥k+$\frac{m}{x}$，即有kx²+（m-k）x-m≥0，
可得k＞0，且（m-k）²+4km≤0，即（m+k）²≤0，
可得m+k=0，
解得a=0，b=1-2ae²=1，c=ae²=0，
則f（x）=lnx，
由lnx≤kx+m≤xlnx恒成立，可得
lnx≤k（x-1）≤xlnx恒成立，
由lnx-（x-1）的導(dǎo)數(shù)為$\frac{1}{x}$-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，lnx-（x-1）遞減，0＜x＜1時(shí)，lnx-（x-1）遞增，
可得lnx-（x-1）≤0，即lnx≤x-1；
又xlnx-（x-1）的導(dǎo)數(shù)為1+lnx-1=lnx，
當(dāng)x＞1時(shí)，xlnx-（x-1）遞增，0＜x＜1時(shí)，xlnx-（x-1）遞減，
可得xlnx-（x-1）≥0，即有xlnx≥x-1，
故lnx≤x-1≤xlnx．
可得k=1，m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用特殊值法和構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．