Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²-n，n∈N₊．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的前n項和求得首項，再由a_n=S_n-S_n-1求得n≥2時的通項公式，驗證首項后得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1，分組后利用等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答 解：（1）由S_n=n²-n，得a₁=S₁=0；
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-n-[（n-1）^{2}-（n-1）]$=2n-2；
驗證n=1時成立，
∴a_n=2n-2；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+1=2^2n-2+1=4^n-1+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=4⁰+1+4¹+1+4²+1+…+4^n-1+1
=（1+4+4²+…+4^n-1）+n=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}+n=\frac{{4}^{n}}{3}+n-\frac{1}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的分組求和，訓練了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．