Question

7．定義在R上的函數(shù)y=f（x），對任意不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，又函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，則當(dāng)1≤x≤4時，$\frac{y}{x}$的取值范圍是（-1，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知f（x）在R上為減函數(shù)且為奇函數(shù)，從而可由原不等式得f（x²-2x）≤f（y²-2y），進(jìn)一步得到x²-2x≥y²-2y，可設(shè)$\frac{y}{x}=t$，從而有y=tx，帶入上面不等式便可以得到（1-t²）x≥2（1-t），討論t：顯然可看出t=1時不等式成立，t=-1時不成立，然后討論-1＜t＜1和t＞1或t＜-1，這樣便可把1-t²除到不等式的右邊，根據(jù)x的范圍便可得出關(guān)于t的不等式，解不等式即可得出t的范圍，所有t的范圍求并集便可得出$\frac{y}{x}$的取值范圍．

解答 解：由[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0得，f（x）在R上為減函數(shù)；
f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱；
∴f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱；
∴f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）；
∴由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0得，f（x²-2x）≤f（y²-2y）；
∴x²-2x≥y²-2y；
設(shè)$\frac{y}{x}=t$，y=xt；
∴x²-2x≥t²x²-2tx，1≤x≤4；
∴x-2≥t²x-2t；
∴（1-t²）x≥2（1-t）；
①t=1時，上面不等式成立；
②-1＜t＜1時，1-t²＞0，∴$x≥\frac{2}{1+t}$；
∴$1≥\frac{2}{1+t}$；
∴t≥-1；
∴-1＜t＜1；
③t=-1時，0≥4顯然不成立；
④t＞1，或t＜-1時，1-t²＜0，∴$x≤\frac{2}{1+t}$；
∴$4≤\frac{2}{1+t}$；
∴$-1＜t≤-\frac{1}{2}$；
∴這種情況不存在；
∴綜上得-1＜t≤1，即$-1＜\frac{y}{x}≤1$；
∴$\frac{y}{x}$的范圍為（-1，1]．
故答案為：（-1，1]．

點(diǎn)評 考查減函數(shù)的定義，圖象沿x軸的平移變換，奇函數(shù)圖象的對稱性，奇函數(shù)的定義，而設(shè)$\frac{y}{x}=t$是求解本題的關(guān)鍵．