Question

15．（1）求證$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$
（2）已知a，b，c∈R，求證a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （1）分析使不等式$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．
（2）從不等式的左邊入手，左邊對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的二倍，分別寫(xiě)成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡(jiǎn)形式，得到右邊的2倍，兩邊同時(shí)除以2，得到結(jié)果．

解答 證明：（1）要證明$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$，
只要證$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$即可．
只要證$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
即證2$\sqrt{42}$＞4$\sqrt{10}$，
即證42＞40．顯然成立，故要證的不等式成立．
（2）a²+b²+c²=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²+a²+b²+c²）$≥\frac{1}{2}$（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用分析法證明不等式，考查均值不等式的應(yīng)用，考查不等式的證明方法．利用用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止，屬于中檔題．