Question

17．已知橫坐標(biāo)為$\sqrt{t}$的點(diǎn)P在曲線C：y=$\frac{1}{x}$（x＞1），曲線C在點(diǎn)P處的切線y-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$（x-$\sqrt{t}$）與直線y=4x交于A，與x軸交于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，記f（t）=x_A•x_B，正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2），a₁=a．
（1）寫(xiě)出a_n，a_n-1之間的關(guān)系式．
（2）若數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a=2，b_n=a_n$-\frac{3}{4}$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜$\frac{3}{2}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，聯(lián)立求解，求出f（t）=x_A•x_B=$\frac{4t}{4t+1}$，得出結(jié)果；
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$，構(gòu)造$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x），得出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}為q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
，從而得出a的范圍；
（3）根據(jù)題意求出b_n=$\frac{15}{4（8•{4}^{n}-5）}$，利用放縮法得出b_n＞$\frac{15}{2•{4}^{n+2}}$=$\frac{15}{32}•（\frac{1}{4}）^{n}$，最后得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y-$\frac{1}{\sqrt{t}}$=$-\frac{1}{t}$（x-$\sqrt{t}$）與y=4x相交
∴x_A=$\frac{2\sqrt{t}}{4t+1}$，
令y=0得x_B=2$\sqrt{t}$，$\frac{1}{a}$
∴f（t）=x_A•x_B=$\frac{4t}{4t+1}$
∴a_n=f（a_n-1）=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$；
（2）
∵a_n=$\frac{4{a}_{n-1}}{4{a}_{n-1}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$
設(shè)$\frac{1}{{a}_{n}}$+x=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+x），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4{a}_{n-1}}$-$\frac{3}{4}x$，
∴x=$-\frac{4}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}為q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$
∴使數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，且為正數(shù)數(shù)列{a_n}
∴$\frac{1}{a}$-$\frac{4}{3}$＞0，
∴0＜a＜$\frac{3}{4}$；
（3）由（2）知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$}為q=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{5}{6}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{4}{3}$=-$\frac{5}{6}$×（$\frac{1}{4}$）^n-1
∴a_n=$\frac{6×{4}^{n-1}}{8×{4}^{n}-20}$，
∴b_n=$\frac{15}{8×{4}^{n}-20}$，
∵b_n＞$\frac{15}{8×{4}^{n}}$=$\frac{15}{8}$×$\frac{1}{{4}^{n}}$，
${{s}_{n}}^{′}$=$\frac{15}{8}$×$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{4}×\frac{1}{{4}^{n}}$＜$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{n＜}\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)和數(shù)列的綜合應(yīng)用和放縮法的應(yīng)用，難度較大．