Question

6．已知A、B、C為△ABC的內角，tanA、tanB是關于x的方程x²+$\sqrt{3}$mx-m+1=0的兩個實根．
（1）求C的大��；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，AC=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用韋達定理，兩角和的正切公式，求得 tan（A+B） 的值，可得 A+B的值，從而求得C的值．
（2）利用正弦定理以及大邊對大角求得B的值，可得A的值，從而求得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA 的值．

解答 解：（1）由題意可得tanA+tanB=-$\sqrt{3}$m，tanA•tanB=1-m，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
∴在△ABC中，A+B=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若AB=$\sqrt{6}$，AC=2，由正弦定理可得$\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根據AC＜AB，大邊對大角可得 B＜C，∴B=$\frac{π}{4}$，∴A=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
故△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查韋達定理，兩角和的正切公式，誘導公式，三角形的面積公式，屬于基礎題．