Question

1．己知數(shù)列{a_n}和致列{b_n}滿足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-$\frac{2n}{3}$+$\frac{4}{9}$．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，{a_n}一定不是等差數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)λ=-$\frac{1}{2}$，m≠$\frac{2}{9}$時(shí)，判斷{b_n}是否為等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和，在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有$\frac{1}{3}$≤S_n≤$\frac{2}{3}$？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）這種證明數(shù)列不是等差數(shù)列的問題實(shí)際上不好表述，我們可以選擇反證法來證明，假設(shè)存在推出矛盾；
（Ⅱ）我們寫出數(shù)列的第n+1項(xiàng)和第n項(xiàng)之間的關(guān)系，由等比數(shù)列的定義即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和，把不等式寫出來化簡(jiǎn)可得$\frac{\frac{1}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤m-$\frac{2}{9}$≤$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，分別求得左右兩邊的最值即可，注意n的奇偶情況要分類討論．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)m=1時(shí)，a₁=1，a_n+1=λa_n+n，
假設(shè)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，{a_n}是等差數(shù)列，可設(shè)a_n=1+（n-1）d，
即有1+nd=λ[1+（n-1）d]+n，
即為1+nd=λ（1-d）+n（λd+1），
可得1=λ-λd，d=λd+1，
解得λ=d，d²-d+1=0，d∈∅，
故假設(shè)不成立，即有對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，{a_n}一定不是等差數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)λ=-$\frac{1}{2}$，m≠$\frac{2}{9}$時(shí)，b_n+1=a_n+1-$\frac{2}{3}$（n+1）+$\frac{4}{9}$
=-$\frac{1}{2}$a_n+n-$\frac{2}{3}$n-$\frac{2}{9}$=-$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2n}{3}$+$\frac{4}{9}$）=-$\frac{1}{2}$b_n，
由m≠$\frac{2}{9}$，可得b₁=m-$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{9}$≠0，
由等比數(shù)列的定義可得，{b_n}為首項(xiàng)為m-$\frac{2}{9}$，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有$\frac{1}{3}$≤S_n≤$\frac{2}{3}$．
由（Ⅱ）可得，S_n=$\frac{（m-\frac{2}{9}）[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$，
由$\frac{1}{3}$≤S_n≤$\frac{2}{3}$，可得$\frac{\frac{1}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤m-$\frac{2}{9}$≤$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ＞1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，0＜1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1，
即有$\frac{\frac{1}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值為$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{3}$，則m-$\frac{2}{9}$≥$\frac{2}{3}$，
解得m≥$\frac{8}{9}$；
由n→+∞，可得（-$\frac{1}{2}$）ⁿ→0，故1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ→1，
即有m-$\frac{2}{9}$≤1，解得m≤$\frac{11}{9}$．
即有存在實(shí)數(shù)m，且m∈[$\frac{8}{9}$，$\frac{11}{9}$]，
使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有$\frac{1}{3}$≤S_n≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查反證法的運(yùn)用和恒成立問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的最值的求法，屬于中檔題．