Question

12．已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)（4，4），它的焦點(diǎn)F，傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線(xiàn)兩交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)．
（1）求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)l的方程；
（2）求|AF|=m|BF|，求m的值．

Answer 1

分析 （1）拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)（4，4），代入，求出p，可得拋物線(xiàn)方程，求出焦點(diǎn)F（1，0），可得直線(xiàn)方程；
（2）y=$\sqrt{3}$（x-1）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得3x²-10x+3=0，求出A，B的橫坐標(biāo)，即可求m的值．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）過(guò)點(diǎn)（4，4），
∴16=8p，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)的方程為y²=4x，
焦點(diǎn)F（1，0），直線(xiàn)方程為y=$\sqrt{3}$（x-1）；
（2）y=$\sqrt{3}$（x-1）與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得3x²-10x+3=0，
∴x=$\frac{1}{3}$或3，
∴|AF|=3+1=4，|BF|=$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$，
∵|AF|=m|BF|，∴m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．