Question

在平行四邊形ABCD中，已知|

AB

|=2，|

AD

|=1，∠BAD=60°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)P，則

AP

•

AD

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由已知可得A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，E(

9

4

，

3

4

)．由于B，P，D三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)λ使得

AP

=λ

AB

+(1-λ)

AD

．由于點(diǎn)P在直線AE上，利用向量共線定理可得存在實(shí)數(shù)μ使得

AP

=μ

AE

，再利用向量共面的基本定理可得λ，μ．再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，E(

9

4

，

3

4

)．
∵B，P，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ使得

AP

=λ

AB

+(1-λ)

AD

=(

3λ+1

2

，

3 - 3 λ

2

)．
∵點(diǎn)P在直線AE上，∴存在實(shí)數(shù)μ使得

AP

=μ

AE

=μ(

9

4

，

3

4

)=(

9μ

4

，

3 μ

4

)，
∴

3λ+1 2 = 9μ 4 3 - 3 λ 2 = 3 μ 4

，解得λ=μ=

2

3

．
∴

AP

=(

3

2

，

3

6

)．
∴

AP

•

AD

=(

3

2

，

3

6

)•(

1

2

，

3

2

)=

3

4

+

1

4

=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．