Question

6．在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{5}{3}$，且3a_n+1=a_n+2．
（1）設(shè)b_n=a_n-1，證明：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出${b_1}={a_1}-1=\frac{2}{3}≠0$，3b_n+1=b_n，由此能證明{b_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）得${a_n}={b_n}+1=\frac{2}{3^n}+1$，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 證明：（1）依題意，${b_1}={a_1}-1=\frac{2}{3}≠0$…（1分）
a_n=b_n+1，a_n+1=b_n+1+1，所以3（b_n+1+1）=b_n+1+2…（3分）
3b_n+1=b_n…（4分），$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$，{b_n}是等比數(shù)列…（5分）
解：（2）由（1）得${b_n}=\frac{2}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=\frac{2}{3^n}$…（7分），
${a_n}={b_n}+1=\frac{2}{3^n}+1$…（8分）
∴${S}_{n}=\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-{3}^{n}}$$+n=n+1-\frac{1}{3^n}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．