Question

17．在△ABC中，a、b、x分別是角A、B、C所對(duì)的邊，$A=\frac{π}{3}$，$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{2}$，則△ABC的面積S=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理可得C，進(jìn)而得到B，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：由$A=\frac{π}{3}$，$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{2}$，可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{2}×sin\frac{π}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵c＜a，∴C＜A，∴C為銳角，$C=\frac{π}{4}$，
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．
∴sinB=$sin\frac{5π}{12}$=$sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．