Question

19．如圖，四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SD垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分別是SB、SD的中點，求證：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）SB∥平面FAC；
（3）AC⊥SB；
（4）平面SDC⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （1）連接BD，運用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）設(shè)AC，BD交于O，連接OF，運用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（3）運用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證；
（4）運用線面垂直的性質(zhì)和判斷，證得BC⊥平面SCD，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：（1）連接BD，
由E、F分別是SB、SD的中點，
可得FE∥BD，
EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，
則有EF∥平面ABCD；
（2）設(shè)AC，BD交于O，連接OF，
由中位線定理，可得OF∥SB，
OF?平面FAC，SB?平面FAC，
即有SB∥平面FAC；
（3）在正方形ABCD中，AC⊥BD，
SD⊥平面ABCD，即有SD⊥AC，
則AC⊥平面SBD，
即有AC⊥SB；
（4）SD⊥平面ABCD，即有SD⊥BC，
又BC⊥CD，
即有BC⊥平面SCD，
BC?平面SBC，即有平面SDC⊥平面SBC．

點評 本題考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間推理能力，和空間想象能力，屬于中檔題．