Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²（x+a）-2（a∈R）在x=2處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²+2ax，由x=2處取得極值解a．
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)的符號，求出表達式的解集，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況列表，求解函數(shù)的最值．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-2得：f′（x）=3x²+2ax，…（2分）
依題意，得f′（2）=12+4a=0，…（3分）
解得：a=-3．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)論知f′（x）=3x²-6x．
故由f′（x）=3x²-6x＞0⇒x＜0或x＞2．…（6分）
由f′（x）=3x²-6x＜0⇒0＜x＜2，…（8分）
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．…（9分）
（Ⅲ）當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-6	遞增	-2	遞減	-6	遞增	-2

…（12分）
由上表可知，當(dāng)x=0或x=3時，函數(shù)取得最大值-2．…（13分）

點評 本題考查函數(shù)的對數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．