Question

5．若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a∈（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （4，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-2sin2x+acosx，
若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是減函數(shù)，
則f′（x）=-2sin2x+acosx≤0恒成立，
即acosx≤2sin2x，
∵cosx＞0，
∴a≤$\frac{2sin2x}{cosx}$=$\frac{4sinxcosx}{cosx}$=4sinx，
當(dāng)$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，4sin$\frac{π}{6}$＜4sinx＜4sin$\frac{π}{2}$，
即2＜4sinx＜4，
則a≤2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．