Question

5．求下列函數(shù)的最值：
（1）y=x-$\sqrt{1-2x}$∈（-∞，$\frac{1}{2}$]
（2）y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$∈[2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)$\sqrt{1-2x}$=t，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的值域求法可得最大值；
（2）運用兩邊平方，再由配方，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{1-2x}$=t（t≥0），
則x=$\frac{1}{2}$（1-t²），
y=$\frac{1}{2}$（1-t²）-t
=-$\frac{1}{2}$（t+1）²+1，
當(dāng)t=0，即x=$\frac{1}{2}$時，y_max=$\frac{1}{2}$．
則函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$，（y＞0）
兩邊平方可得y²=4+2$\sqrt{（1-x）（x+3）}$
=4+2$\sqrt{4-（x+1）^{2}}$，
由0≤$\sqrt{4-（x+1）^{2}}$≤2，
可得4≤y²≤8，
可得2≤y≤2$\sqrt{2}$，
則函數(shù)的值域為[2，2$\sqrt{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$]；[2，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，注意運用二次函數(shù)的值域的求法，考查運算能力，屬于中檔題．