Question

9．如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P，當(dāng)P點(diǎn)由點(diǎn)B（起點(diǎn)）向點(diǎn)A（終點(diǎn)）沿逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)（B→C→D→A）時(shí)，三點(diǎn)A、B、P構(gòu)成△ABP，求：
（1）△ABP的面積y關(guān)于點(diǎn)P移動(dòng)的路程x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)路程x為多少時(shí)面積y有最大值？并求此最大值．

Answer 1

分析 （1）可以看出需討論P(yáng)點(diǎn)分別在邊BC、CD，和DA上，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出每種情況下△ABP的面積，這樣可用分段函數(shù)表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）△ABP的底邊固定不變，從而高最大時(shí)，△ABP的面積最大，從圖形上看出P點(diǎn)在邊CD上時(shí)，面積取到最大值，從而可得出x的范圍及面積的最大值．

解答 解：（1）①當(dāng)P點(diǎn)在邊BC上時(shí)，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}•AB•BP=\frac{1}{2}•4•x=2x$，0＜x≤4；
②當(dāng)P點(diǎn)在邊CD上時(shí)，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×4×4=8$，4＜x≤8；
③當(dāng)P點(diǎn)在邊DA上時(shí)，${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}•4•[4-（x-8）]$=-2x+24，8＜x＜12；
∴$y=\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0＜x≤4}\\{8}&{4＜x≤8}\\{-2x+24}&{8＜x＜12}\end{array}\right.$；
（2）可看出當(dāng)P點(diǎn)在邊CD上時(shí)，面積最大；
即x∈[4，8]時(shí)，△ABP的面積最大，最大面積為8．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形的面積公式，分段函數(shù)的概念及表示，要清楚P點(diǎn)是從B出發(fā)．