Question

14．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）（a∈R）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）若a＜0，集合A={y|y=f（x），$\frac{1}{2}$≤x≤2}，B=[-1，1]，且A⊆B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得即 $\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0，分類討論a的值，求得x的范圍．
（2）當a＜0時，函數(shù)f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）在[$\frac{1}{2}$，2]上是增函數(shù)，求得f（x）的值域，可得A的值，再根據(jù)A⊆B，求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$），∴x+$\frac{a}{x}$＞0，即 $\frac{{x}^{2}+a}{x}$＞0 ①，
當a=0時，由①求得x＞0，函數(shù)的定義域為{x|x＞0}．
當a＜0時，①即$\frac{（x+\sqrt{-a}）（x-\sqrt{-a}）}{x}$＞0，求得-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$，故函數(shù)的定義域為{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$ }．
當a＞0時，由①求得x＞0．
綜上可得，對于函數(shù)f（x）：當a≥0時，定義域為{x|x＞0}；當a＜0時，定義域為{x|-$\sqrt{-a}$＜x＜0，或x＞$\sqrt{-a}$ }．
（2）當a＜0時，由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，可得函數(shù)f（x）=lg（x+$\frac{a}{x}$）是增函數(shù)，故f（x）∈[lg（$\frac{1}{2}$+2a），lg（2+$\frac{a}{2}$）]，
故A=[lg（$\frac{1}{2}$+2a，lg（2+$\frac{a}{2}$）]．
再根據(jù)A⊆B，可得lg（$\frac{1}{2}$+2a ）≥-1，且lg（2+$\frac{a}{2}$）]≤1，求得-$\frac{1}{5}$≤a≤16．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域、單調性，求函數(shù)的值域，集合間的包含關系的應用，屬于基礎題．