Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+x+1．
（1）求曲線y=f（x）在點（2，7）處的切線的方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點，求切點坐標．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）設(shè)出切點，求得切線的斜率，求出切線的方程，代入原點，解方程可得切點的坐標．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x+1，
∴f（x）在點（2，7）處的切線的斜率為k=f′（2）=5．
∴切線的方程為y-7=5（x-2），
即y=5x-3．
（2）設(shè)切點坐標為（x₀，y₀），
則直線l的斜率為f′（x₀）=2x₀+1，
y₀=x₀²+x₀+1，
∴直線l的方程為y=（2x₀+1）（x-x₀）+x₀²+x₀+1．
又∵直線l過坐標點（0，0），
∴0=（2x₀+1）（0-x₀）+x₀²+x₀+1，
整理得，x₀²=1，
∴x₀=±1，若x₀=1，則y₀=1²+1+1=3，
若x₀=-1，則y₀=（-1）²+（-1）+1=1．
∴切點坐標（1，3），或（-1，1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，注意切點的確定，考查直線方程的求法，考查運算能力，屬于中檔題．