Question

10．設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0，則不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0的解集為（　�。�

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 本題可以利用f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0，得到f（x）的相應函數(shù)值的正負情況，再根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得到在（-∞，0）上f（x）的相應函數(shù)值的正負情況，通過分類討論，將不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0等價于不等式xf（x）＜0，轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組，得到本題結(jié)論．

解答 解：∵f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0，
∴當0＜x＜1時，f（x）＞0；
當x＞1時，f（x）＜0．
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴由圖象的對稱性知：當x＜-1時，f（x）＞0；
當-1＜x＜0時，f（x）＜0．
若f（0）有意義，則f（0）=0．
∵不等式$\frac{2f（x）-f（x）}{3x}$＜0等價于不等式xf（x）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞1或x＜-1．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，函數(shù)性質(zhì)與圖象間關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．