Question

17．已知集合M={f（x）|當(dāng)x∈[0，4]時，|f（x）|≤2恒成立}，若f（x）是定義在區(qū)間[-4，4]上的奇函數(shù)，f（4）=0且對任何實數(shù)，x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求證：f（x）∈M．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的最值關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是定義在區(qū)間[-4，4]上的奇函數(shù)，f（4）=0且對任何實數(shù)，x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤2|f（x）|_max，
則當(dāng)x∈[0，4]時，2|f（x）|_max≤|x₁-x₂|=4，
即|f（x）|_max≤2，
即f（x）∈M．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．