Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx（ω＞0）的部分圖象如圖所示，A，B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則函數(shù)f（x+1）是（　　）

• A． 周期為4的奇函數(shù)
• B． 周期為4的偶函數(shù)
• C． 周期為2π的奇函數(shù)
• D． 周期為2π的偶函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出函數(shù)周期，表示出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0求出ω，求出f（x+1）的表達(dá)式進(jìn)行判斷．

解答 解：函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{ω}$，
則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{4}$T=$\frac{2π}{ω}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{π}{2ω}$，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{4}$T=$\frac{2π}{ω}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3π}{2ω}$，
即A（$\frac{π}{2ω}$，$\sqrt{3}$），B（$\frac{3π}{2ω}$，$-\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴（$\frac{π}{2ω}$，$\sqrt{3}$）•（$\frac{3π}{2ω}$，$-\sqrt{3}$）=0，
即$\frac{3{π}^{2}}{4{ω}^{2}}$-3=0，
解得ω=$\frac{π}{2}$，
即f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x，
則f（x+1）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$（x+1）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cos$\frac{π}{2}$x，為偶函數(shù)，
周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，利用向量數(shù)量積的關(guān)系求出ω是解決本題的關(guān)鍵．